[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 9102 변형 | 성취기준: 12대수01-03]
[문제] \(\sqrt{\log_2n}\)이 자연수가 되도록 하는 \(100\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수를 \(p\), \(\log_3n\)의 정수 부분이 \(2\)인 자연수 \(n\)의 개수를 \(q\)라 할 때, \(p+q\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 9105 변형 | 성취기준: 12대수03-04]
[문제] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1=1\)이고 \(a_{n+1}=\begin{cases}\dfrac{a_n}{2} & (a_n\text{이 짝수})\\ a_n+5 & (a_n\text{이 홀수})\end{cases}\)를 만족시킬 때, \(a_{50}\)과 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{50}a_k\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.44 탐구 9106 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]
[문제] 함수 \(f(x)=x^2-4x+3\)과 상수 \(a\)에 대하여 \(g(x)=\begin{cases}1 & (x\ge a)\\ -1 & (x\lt a)\end{cases}\)라 하자. \(h(x)=f(x)g(x)\)가 실수 전체에서 연속이 되도록 하는 \(a\)의 값을 모두 구하고, 각 경우 \(\displaystyle\int_0^4h(x)\,dx\)의 값 중 최댓값을 구하는 과정을 논술하시오.
💡 상세해설 및 모범답안
1) \(x=a\)에서 연속이려면 \(f(a)=-f(a)\), 즉 \(f(a)=0\)이므로 \(a=1\) 또는 \(a=3\)이다.
2) \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\)라 하면 \(F(0)=0, F(1)=\dfrac43, F(3)=0, F(4)=\dfrac43\)이다.
3) \(a=1\): \(-\dfrac43+\left(\dfrac43-\dfrac43\right)=-\dfrac43\). \(a=3\): \(-0+\dfrac43=\dfrac43\). 최댓값은 \(\dfrac43\)이다.
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.50 탐구 9108 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07]
[문제] 양수 \(a\)에 대하여 \(f(x)=x^3-3a^2x\)의 극댓값과 극솟값의 차가 \(32\)일 때, \(a\)의 값을 구하고 방정식 \(|f(x)|=8\)의 서로 다른 실근의 개수를 구하는 과정을 논술하시오.
💡 상세해설 및 모범답안
1) \(f'(x)=3(x-a)(x+a)\), 극댓값 \(f(-a)=2a^3\), 극솟값 \(-2a^3\)이므로 \(4a^3=32\), \(a=2\)이다.
2) \(f(x)=x^3-12x\)의 극댓값 \(16\), 극솟값 \(-16\)이다.
3) \(-16\lt8\lt16\), \(-16\lt-8\lt16\)이므로 \(f(x)=8\), \(f(x)=-8\)은 각각 서로 다른 세 실근을 갖고 공통근이 없으므로 \(6\)개이다.
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 9109 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]
[문제] 곡선 \(y=x^2-4\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 \(y=k\,(-4\lt k\lt0)\)가 이등분할 때, \(k\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.
💡 상세해설 및 모범답안
1) 전체 넓이는 \(\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\frac{32}{3}\)이다.
2) \(s=\sqrt{k+4}\)라 하면 곡선과 직선 \(y=k\)로 둘러싸인 넓이는 \(\displaystyle\int_{-s}^{s}(s^2-x^2)\,dx=\frac43s^3\)이다.
3) \(\dfrac43s^3=\dfrac{16}{3}\)에서 \(s^3=4\), \(k=s^2-4=2\sqrt[3]{2}-4\)이다.